PROGRAM LINIER | Belajar Matematika

PROGRAM LINIER

Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujan, seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapakan dalam masalah ekonomi, industri, sosial dan lain-lain.

SISTEM PERSAMAAN DAN TIDAK PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

Ø  Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem persanaan linier adalah himpunan beberapa persamaan linier yang saling terkait, dengan koefesien-koefesien persamaan adalah bilangan real. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linier dengan dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variabel x dan y adalah :

Dengan a1, a2, b1, b2, c1 dan c2 bilangan real a1 dan b1tidak keduanya 0; a2 dan b2 tidak keduanya 0.

x, y      : variabel

a1, a2   : koefesien variabel x

b1, b2  : koefesien variabel y

c1, c2   : konstanta persamaan

sistem persamaan linier homogen merupakan sistem persamaan linier dengan suku konstan sama dengan nol dan memenuhi salah satu dari dua hal berikut.

a)      Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trival.

b)      Sistem tersebut mempunyai tak tertehingga banyak penyelesaian tak trival selain penyelesaian trival.

Ø  Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linier dua variabel.

ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c

Dengan : a = koefesien dari x, a ≠ 0 b = koefesien dari y, b ≠ 0 c = konstanta a, b dan c anggota bilangan real

Sistem pertidak samaan linier dua variabel adalah suatu sistem pertidaksamaan linier yang memeuat dua variabel dengan koefesien bilangan real.

Contoh :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan x ≥ 0; y ≤ 0; x ≤ 3; x + y ≤ 5; x, y  R

1)      Kita titik potong x + y = 5 dengan sumbu koordinat Cartesisus.

Untuk x = 0 → 0 + y = 5 → y = 5

Untuk y = 0 → x + 0 = 5 → x = 5

Jadi, di peroleh titik potong (0,5) dan (0,5).

2)      Grafik sistem pertidak samaan linier tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar grafik sistem pertidaksamaan linier.

                                

Dari gambar diatas, tampak :

a)      Penyelesaian x ≥ 0 adalah daerah disebelah kanan sumbu y (daerah arsiran);

b)      Penyelesaian y ≥ 0 terletak disebelah atas sumbu x (daerah arsiran);

c)      Penyelesaian x ≤ 3adalah daerah sebelah kiri garis x = y = 3;

d)      Penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 5 adalah di daerah di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5); dan

e)      Titik potong garis x = 3 dan x + y = 5 dengan menyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5, sehingga di peroleh y = 2.jadi titik potongnya adalah (3,2).

Dengan demikian, himpunana penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 3 dan x + y ≤ 5 dengan x, y  R adalah daerah segi empat OABC yang diarsir, seperti terlihat pada gambar tersebut.

MODEL MATEMATIKA DAN PROGRAM LINIER

Ø  Model Matematika dari Masalah  Program Linier

Merancang atau membuat model matematika dalam suatu masalah program linier adalah menentukan fungsi tujuan beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linier itu.

          Contoh :

Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang  (barang A dan barang B) dengan menggunakan dua mesin M₁ selama 2 menit dan mesin M₂ selama 4 menit. Sedangkan, satu unit barang B dibuat dengan mesin M₁ selama 8 menit dan mesin M₂ selama 4 menit. Dalam satu hari mesin M₁ dan mesin M₂ beroprasi tidak lebih dari 8 jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari satu, unit barang A adalah Rp 250,00 dan satu unit barang B adalah Rp 500,00. Buatlah model matematika dari masalah program linier di atas, jika keuntungan bersih diharapkan mencapai sebesar-besarnya!

          Jawab :

Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, data atau onformasi yang ada dalam soal dirangkum dalam sebuah tabel seperti tabel erikut!

Jenis Mesin	Barang A	Barang B	Operasi setiap hari
Mesin M1 Mesin M2	2 menit 4 menit	8 menit 4 menit	480 menit 480 menit
keuntungan	Rp 250,00	Rp 500,00

-         Menetapkan besaran masalah sebagai variabel-variabel

Misalkan dalam suatu hari  barang A di produksi sebanyak  x  buah, dan barang B dimproduksi sebanyak  y  buah.

-         Rumus hubungan atau ekspresi matematika

Merumuskan hubungan atau ekspresi matematika sesuai ketentuan-ketentuan yang ada dalam soal.

a)      Waktu yang diperlukan untuk mengoprasikan mesin M₁ = (2x + 8y) menit.

Waktu yang diperlukan untuk mengoprasikan mesin M₂ = (4x + 4y) menit.

Karena mesin M₁ dan M₂ dioprasikan tidak lebih dari 8 jam (480 menit) dalam satu hari, maka haruslah di penuhi hubungan :

2x + 8y ≤ 480 atau x + 4y ≤ 240

4x + 4y ≤ 480 atau x + y ≤ 120

Dengan mengingat bahwa  x dan ymenyatakan banyak barang, maka x dan y mustahil negatif dan harus bilangan cacah. Dengan demikian, x dan y haruslah memenuhi hubungan :

x ≥ 0 dan y ≥ 0, dengan x dan y  C

b)      Keuntungan bersih yang diperoleh jika barang A diproduksi  x  buah dan barang B diproduksi  y  buah ditentukan oleh hubungan :

K = 250x + 500y

Jadi, model matematika dari model diatas adalah :

x ≥ 0 dan y ≥ 0, x + 4y ≤ 240, dan x + y ≤ 120, dengan x dan y  C

bagian ini merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

c)      K = 250 + 500y yang akan di tentukan nilai maksimumnya.

Bagian ini merupakan fungsi linier dua variabel.

Ø  Menentukan Nillai Optimum dari Fungsi Tujuan

Program liner berhubungan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum dari fungsi linier f(x,y) = ax + by yang dinamakan fungsi tujuan (fungsi objektif atau fungsi sasaran), terhadap suatu poligon (segi banyak) x yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier dua variabel, termasuk persyaratan dua variabel-variabel yang tidak negatif x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Setiap titik poligon x dinamakan feasible solution (penyelesaian yang mungkin) dari masalah. Suatu titik dalam poligon x dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum di namakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum dari fungsi tujuan  f (x,y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode uji titik pojok dan metode garis selidik.

-         Menggunakan metode uji titik pojok

Prosedur yang digunakan dalam menentukan nilai optimum funsi tujuan dengan menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut :

o   Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

o   Menyusun model matematika, yang terdiri dari penentuan syarat batas fungsi tujuan dan fungsi tujuannya.

o   Perhatiakanlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan (syarat batas fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan tentukan titik sudutnya.

o   Pilih solusi yang terbaik (optimal) dari penyelesaian-penyelesaian, yang mungkin itu dengan cara membandingkan nilai fungsi tujuan pada titik-titik sudutnya.

o   Terjemahkan penyelesaian atau hasil yang didapat dari bahasa matematika kedalam bahasa sehari-hari sebagai penyelesaian masalah.

Titik-titik optimum untuk x,y  R selalu terletak pada titik sudut  atau pada sisi daerah poligon yang mungkin. Akan tetapi jika x,y  C, maka hal ini tidak perlu selalu demikian.

-         Menggunakan garis selidik

Prosedur yang dilakukan dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut.

o   Memisahkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

o   Menyusun model matematika yang terdiri dari penentuan syarat batas funsi tujuan dan fungsi tujuan.

o   Perlihatkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidak samaan (syarat batas fungsi tujuan) pada bidang cartesisus dan mementukan titik-titik sudutnya.

o   Gambarlah garis f(x,y) = c, c konstanta, dengan cara menentukan satu nilai c seembarang garis f(x,y) = c ini dinamakan garis selidik.

Tentukan nilai-nilai sembarang untuk fungsi f, misalkan c₁, c₂, c₃, ..., c_n. Garis-garis f(x,y) = c₁, f(x,y) = c₂, f(x,y) = c₃, ..., f(x,y) = c_n saling sejajar. Sebagaian garis-garis itu akan melalui daerah himpunan penyelesaian dan diantaranya akan menyentuh salah satu titik sudutnya. Garis yang menyentuh titik sudut inilah, yang akan menghasilkan nilai optimum dari fungsi tujuan.

Categories: matematika